Решите пожалуйста интеграл

Набирать здесь формулы довольно неудобно, но попробуем. Вместо знака интеграла будут писать букву S.

(1) Замена х = tg(t), dx = dt/cos^2(t). Идея замены: избавиться от корня в знаменателе.

S x^3 * dx / sqrt(1 + x^2) =
S tg^3(t)) * dt / (cos^2(t) * sqrt(1 + tg^2(t)) =
S tg^3(t)) * dt / (cos^2(t) * sqrt(1 + sin^2(t)/cos^2(t)) =
S tg^3(t)) * dt / (cos^2(t) * sqrt((cos^2(t) + sin^2(t))/cos^2(t)) =
S tg^3(t)) * dt / (cos^2(t) * sqrt(1/cos^2(t)) =
S tg^3(t)) * dt / (cos^2(t) * (1/cos(t)) =
S tg^3(t)) * dt / cos(t) =
S sin^3(t) * dt / cos^4(t) =
S sin^2(t) * sin(t) * dt / cos^4(t) =
- S sin^2(t) * d(cos(t)) / cos^4(t) =
- S (1 - cos^2(t)) * d(cos(t)) / cos^4(t)

2. Замена z = cos(t)

- S (1 - cos^2(t)) * d(cos(t)) / cos^4(t) =
- S (1 - z^2) * dz / z^4 =
S z^2 * dz / z^4 - S dz / z^4 =
S dz / z^2 - S dz / z^4 =
- 1 / z + 1 / (3 * z^3) + С=
-1 / cos(t) + 1 / (3 * cos^3(t)) + С

Осталось только вернуться к исходной переменной х. Для этого нужно косинус t выразить через тангенс t:

cos(t) = 1 / sqrt(1 + tg^2(t))

Поэтому

-1 / cos(t) + 1 / (3 * cos^3(t)) + С =
-sqrt(1 + tg^2(t)) + (1/3) * sqrt^3(1 + tg^2(t)) + С

Всё.

Мне кажется так проще