Помогите найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных по области

Вариант 2.
Ищем стационарные точки:

 f(x, y) = x² - 2y² + 5

δf(x, y) / δx = 2x = 0

δf(x, y) / δy = -4y = 0 

Эта система имеет решение только при x = y = 0.
Но данная функция - "седло", поэтому даже в этой точке локального экстремума у неё нет.
Поэтому осталось найти минимум и максимум на граничных отрезках (это стороны треугольника, ограниченного точками (0; 0), (0; 1), (1; 0)).

 f(0, y) = -2y² + 5

df(0, y) / dy = -4y = 0

Экстремум один и на границе отрезка, на отрезке функция монотонна.

f(0, 0) = 5 - максимум

f(0, 1) = 3 - минимум



f(x, 0) = x² + 5

df(x, 0) / dx = 2x = 0

Экстремум один и на границе отрезка, на отрезке функция монотонна.

f(0, 0) = 5 - минимум

f(1, 0) = 6 - максимум



f(x, 1 - x) = x² - 2(1 - x)² + 5 = -x² + 4x + 3

df(x, 1 - x) / dx = -2x + 4 = 0

x = 2

Экстремум - вне границ отрезка, на отрезке функция монотонна.

f(0, 1) = 3 - минимум

f(1, 0) = 6 - максимум 

Мы нашли максимумы и минимумы на трёх отрезках. Осталось выбрать из них максимумы и минимумы по области.

 f(0, 1) = 3 - минимум по области

f(1, 0) = 6 - максимум по области 

Вариант 25.
Ищем стационарные точки.

 f(x, y) = (x - 3)y²

δf(x, y) / δx = y² = 0

δf(x, y) / δy = 2(x - 3)y = 0

y = 0, x - любое значение - это координаты экстремума, который в данном случае является минимумом. 

Из этого экстремума в область попадают точки, удовлетворяющие неравенству

 x² - 6x + 8 ≤ 0

(x - 2)(x - 4) ≤ 0

2 ≤ x ≤ 4

x ∈ [2; 4], y = 0 - минимум, f(x, y) = 0 в этих точках 

Теперь надо найти максимум.
Область представляет собой круг радиуса 1 с центром в (3, 0):

 x² - 6x + 9 + y² - 1 ≤ 0

(x - 3)² + y² ≤ 1² 

Функция монотонно возрастает вне y = 0.
Поэтому она достигает максимума где-то на границе круга, т.е. на окружности

 (x - 3)² + y² = 1² 

Сделаем подстановку:

 y² = 1² - (x - 3)²

f(x, y) = (x - 3)y² = (x - 3)(1 - (x - 3)²)

примем t = x - 3, dt = dx

f(t) = t(1 - t²) = t - t³

df(x)/dx = df(t)/dt = 1 - 3t² = 0

t² = 1/3

t = ±1/√3 

Это - точки экстремума, т.к. в их окрестностях знак функции принимает разные значения по разные стороны от экстремума. Находим значения в t = ±1, максимальное из них будет максимумом.

 f(1/√3) = 1/√3 - 1/(3√3) = 2/(3√3)

f(-1/√3) = -1/√3 + 1/(3√3) = -2(3√3) 

 x = t + 3 = 3 + 2/(3√3)

y = √(1 - t²) = √(1 - 4/27) = √(23/27) = √23/(3√3)