необходимо ли разрешение на выезд без сопровождения за границу от отца?

В случае выезда из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации не с родителем, то нужно согласие от ОДНОГО из родителей. (Основание ст. 20 Федерального закона от 15 августа 1996 г. № 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» ) . При этом в согласии можно указать, что несовершеннолетний гражданин путешествует самостоятельно.
Вот в доказательство ещё и ссылка на официальный сайт погранцов http://ps.fsb.ru/dpk/oficial_materialy/puteshestviya.htm

болгария в шенгене поэтмоу да, обязательно нужно согласие, в противном случае вам не дадут визу

Тут надо разделять два вопроса:
1. ВЫезд за пределы России. Здесь российское законодательство (статья 20 Закона №114-ФЗ) говорит, что если несовершеннолетний выезжает за пределы России без сопровождения родителей или опекунов, то ему необходимо нотариально заверенное согласие ОДНОГО из родителей.
2. ВЪезд в другое государство. Тут уже работают законы той страны, в которую Вы едете, а они сильно разные. К примеру, большинство европейских стран, включая Болгарию, требуют в нотариально заверенное согласие ОБОИХ родителей. Без этого Вы даже визу получить не сможете.

Забыли написать куда? В Египет и Турцию можно ехать как домой, а вот например во Францию попросят доверенности от родителей даже если они всей семьей едут туда...

Нет

Конечно можно! Не спрашивайте его, отправляйте ребёнка.
Но ваше разрешение нужно обязательно заверить у нотариуса.

смотря куда, в шенген надо