Я купила машину, можно ли ее записать на ребенка 14 лет, и ездить по доверенности? ! Записать ( зарегистрировать)

Собственником ТС может стать хоть младенец. Согласно ГК РФ:
"Статья 26. Дееспособность несовершеннолетних в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет
1. Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет совершают сделки, за исключением названных в пункте 2 настоящей статьи, с письменного согласия своих законных представителей - родителей, усыновителей или попечителя.
Сделка, совершенная таким несовершеннолетним, действительна также при ее последующем письменном одобрении его родителями, усыновителями или попечителем. "
ПС: Вы говорите, что купили - т. е. ДКП оформлен на Вас? Но чтобы оформить авто на ребенка, и ДКП должен быть оформлен на него. Т. е. придется для начала Вам "продать" авто ему.
А так - можете оформить авто на ребенка, сделать ОСАГО как страхователь, вписать себя в страховку и ездить. Доверенности на управление отменены. Нужны права, СТС и страховка ОСАГО - неограниченная или быть вписанным в ограниченную.

доверенности сейчас отменены, НО главное что вашему ребёнку ждать 4 года ибо кататься можно с 18 лет, ведь кто знает что будет через 4 года и возможно ему вообще авто будут до лампочки-может будет любить больше лошадей или велосипед!!!? своим детям говорю что моё всё равно будет ваше, так что пускай будет как есть, вам удачи

Нужно дать четкое определение таким понятиям как правоспособность и дееспособность гражданина. Гражданская правоспособность признается в равной мере за всеми гражданами (равенство всех перед законом и судом) .
Согласно ст. 17 ГК РФ правоспособность- это способность гражданина иметь гражданские права и нести обязанности. Правоспособность возникает у гражданина с момента его рождения и прекращается смертью.
В соответствии со ст. 21 ГК РФ дееспособность- это способность гражданина своими действиями приобретать и осуществлять гражданские права, создавать для себя гражданские обязанности и исполнять их. Как известно гражданин становиться полностью дееспособным при достижении восемнадцатилетнего возраста (совершеннолетия) .
Можно с письменного согласия родителей

А доверенность выдаст вам 14 летний ребенок?

Конечно можно. Порядок такой же, как и при оформлении недвижимости.