Влияет ли верстка на позицию сайта в поисковике? Выглядит норм, но сверстано через одно место кое как.

Да влияет.

1.
Если на веб-странице очень много кода (скрипты, css, меню, многоуровневые вложенные таблицы и т. п.) и относительно мало полезного контента, то есть повышенная закодированность страницы, то поисковики могут ошибаться в определении того, что является полезным контентом на данной веб-страницы. Или, вообще, отказаться индексировать такую веб-страницу.

2.
Ошибки в html-разметке веб-страницы приводят к неправильному выделению полезного контента поисковиками.

3.
Когда на странице очень мало полезного текстового контента (например, куча фоток и текста всего на 100-200 символов), то страница может быть не проиндексирована. Поэтому везде, где возможно, надо стараться, чтобы текст был не на картинках.

Ну, если верить "гигантам мысли от SEO", то вложенные таблицы в HTML не рекомендуется использовать, скрипты Javascript и стили CSS нужно выносить в отдельный файл...
Вот смотрел я эти "уроки" по SEO и офигивал от "мудрых советов"... Самому до этого додуматься религия видимо не дает....

влияет

Я бы сказал - мало влияет. Поисковик берет текст, и ему в принципе нас рать на вашу верстку.
Конечно, лучше добавить крошки, h1, это больше повлияет. чем кривая верстка.

Считается, что да. И что верстать лучше в дивах, чем в табах.
На практике, если ЦМСка хорошо адаптирована в плане сео, то и табличная - не помеха индексации.

Верстка сайта, как дизайн или навигация, влияет на поведенческого фактора, а влияние поведенческого фактора на ранжирование хорошо известно оптимизатором. Пользовител будет просто закрыть сайт, если он выглядит некрасиво или некачественно. Поведенческие факторы - одна из составляющих успешного продвижения ресурса.