Можно ли сейчас пересадить березку, просто что уже на ней есть листья?

Если грунт не очень подходящий, то можно для саженца подготовить почву получше: заранее выкопать яму, заполнить перегноем (или опавшей листвой, только не грязной из города, а чистой..) .

Сажать плохо в жару, сухость и вообще летом - это да; но весной вполне можно.
Нужно захватить по возможности сколько-то земли с того места, где вы выкапываете деревце, ему так будет легче, "со своим", переехать и прижиться.

Что важно для деревьев - так это сохранение их расположения в пространстве!
Поэтому на местности обратите внимание, как расположено деревце относительно сторон света и сохраните именно это направление при посадке (можно для ориентира веточку пометить - нитку привязать, например - на северную и т. п. )

В первое время может понадобиться опора; к ней нужно подвязывать аккуратно, лучше мягким шпагатом, чтоб не повредить кору деревца.
Иногда лучше бывает и вовсе огородить посадку - ну, это вы уж по месту смотрите сами. .
Поливать также можно и нужно, если дождей во время посадки и после неё будет мало.

А так - ну, в целом берёзы -они не то что бы уж очень прихотливые деревья, но в городе, если на них будет попадать соль с дорог и прочие реагенты, всё-таки болеют и сохнут.
Прочих особых условий они не требуют.

можно, главное ямку подсыпать почвой и корни расправить

Понял, что с листочками весной можно посадить маленькую берёзку !