Должен ли начальник расписываться в книге входящих документов за документ, который оставляет у себя?

Если у Вас ведется учет входящей корреспонденции, то Вы должны СНАЧАЛА зарегистрировать новый документ, а потом нести его к нему. И прежде, чем отдать документ начальнику, Вы должны взять с него расписку. Это общее правило для всех. И для него. Порядок - прежде всего.

Попытайтесь обратиться за помощью к начальнику канцелярии. Если это не поможет - ведите хотя бы для себя учет всех документов, отданных ему. Но по большому счету - ищите потихоньку другое место. С такими начальниками лучше НЕ работать. По личному опыту знаю...

да! в журнале фиксируются вся входящая документация

Не стоит расстраиваться!
Вздохни с облегчением: он безграмотный и не воспитанный лох,
как и подавляющее большинство наших руководителей.
Начальник должен быть заинтересован в поддержании
порядка в ведении документации и первым подавать пример.

Но, для себя стоит разобраться: есть ли в организации документ,
который регламентирует документооборот, форму журнала регистрации
входящих/исходящих и их внутреннее передвижение?
Кем утверждён этот документ (если он есть) , кем утверждена форма журнала,
где человек, получивший документ должен расписаться в получении?
М. б. это вышестоящий начальник? Тогда сделай копию этого документа
и представишь в следующий раз в подтверждение своей правоты.
А можно просто "не нарываться" и чётко фиксировать движение документа.

должен, но видимо Ваш никому и ничего не должен!