Сотрудник отпрасился с работы в устной форме, на момент отсутствия получил травму! Какую ответственность несет директор?

Директор никакой ответственности не несет.
Организация - тоже, если докажет, что в момент травмы работник не выполнял служебные обязанности.
Больничный придется оплатить, но соцстрах это возместит.

никакой.

Сотрудник получил травму в рабочее время, никаких приказов об отпуске у работодателя нет, на больничном работник не сидел в это время. да и в табеле рабочего времени указана явка, так что, скорее всего, будет виноват работодатель, это расценят как "травма на производстве".

Травму-то он получил не на работе? Бытовую? какие претензии к директору? Или на рабочем месте травма? это была бы производственная травма. Пострадавший обратится в травмпункт. а там в карточку приема запишут с его слов, где. когда и как получена травма.

По факту, если нет приказа об отпуске за свой счет и просьба была устной, -сотрудник получил травму в рабочее время и это называется травма на производстве. Надо обязательно оповещать все инстанции (а то штраф за несвоевременность или укрытие) , создавать комиссию по расследованию и собирать кучу бумаг, объяснений и ждать решения комиссии по труду. Здесь несет ответственность директор за укрывательство несчастноо случая или несвоевременное оповещение. Также оплатит б. лист, часть возместится. Лучше все сделать как положено (по ТК РФ) . Честно сказать, что попросился сотрудник домой-отпустил. И ждать решения. Мах напишут нарушения, что не зафиксировал отгул. А поскольку травма была не в помещении организации, а по вине самого человека в другом месте, это нестрашно. При любых решения, сначала дают время на исправление, а потом накладывают санкции. А вот за несвоевр. звонок-штрафуют сразу. Позвонить надо и поговорить может они и не расценят этот случай как производственный. В идеале взять заявление на отгул с сотрудника и сделать приказ и ознакомить его с ним. Тогда только оплата б. листа

Мало информации, увы. Где он был в момент причинения травмы? Какова травма? Можно ли её считать производственной?
Скорее всего гендир не несет ответственность.

Вопрос, где получил травму? На рабочем месте или на когда гулял по своим делам?