Как уволить обнаглевшую сотрудницу?

Зачем Вы ей предоставляете отпуск без сохранения при таком положении? Не давайте. Только если справка-вызов законная, то в отпуск учебный. Давайте ей конкретные задания на конкретные сроки. Не справилась - служебку и выговор. Опоздала - зафиксировали и выговор. Два выговора в течении года - увольнение по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ. И на этом фоне предложите уйти по собственному. Не захочет - обставляйтесь служебками, приказами, объяснительными и увольняйте. Ужесточите условия существования.

да, долго терпите. Как появится, пусть пишет по собственному, выскажите ей претензии.

за прогулы.

От руководства зависит. У нас у одной женщины после стажировки нашлись причины не выходить на работу, наш руководитесь не потерпит срыв работы коллектива. Больничные не берем, тооооооолько в самых крайних случаях.

принять на работу грамотного кадровика.

Тут все зависит от Вашего начальства. Обязательно потребовать ксерокопию больничного.
Первый рабочий день будет её последним. претензии уже накопились.
возможно сделать сделать ход конем - посмотрите кто дает ей липовые больничные, позвонить доктору и предупредить (в корректной форме) о том что будете инициировать проверку о "часто болеющей" пациентки.
Повторить служебку о не выполнении должностных обязанностей.
Начальник отдела кадров Вам в помощь. Наше законодательство отличается.

Скажите ей.
Я давно кое-что хотел тебе сказать.
В последнее время ты стала появляться на работе всё реже и не исполнять своих обязанностей. Поэтому ты уволена!