Как правильно поступить?

Просто поговори с начальством, там же свои правила каждому работнику.

Разъясни ситуацию, напиши без содержания и езжай.

Любой работник независимо от времени его работы в компании по договоренности с руководством может взять отпуск за свой счет в связи с семейными обстоятельствами или по другим уважительным причинам. Насколько та или иная причина уважительна, работодатель оценивает по своему усмотрению. И если он сочтет ее неуважительной и не отпустит работника в неоплачиваемый отпуск, а тот все равно не явится на работу, это может быть поводом для увольнения за прогул.

Установлен ряд случаев, когда руководство просто обязано предоставить любому работнику неоплачиваемый отпуск сроком до 5 календарных дней (ст. 128 ТК РФ). Это:
- рождение ребенка;
- регистрация брака;
- смерть близких родственников.

Таким образом, если у вас ни один из этих случаев, или вы хотите уехать более чем на 5 дней, то начальник вправе не отпустить вас; а если все же уедете - уволить за прогул.

Можно надеяться только на доброту начальника, и это будет довольно сложно, поскольку вы даже месяца не отработали, существенного вклада в работу организации не сделали, а уже хотите отгулы. Большой шанс, что это сочтут наглостью.

Вы можете уволиться со старой работы до поездки в другой город по делам, а устроиться на новую - после. Если перерыв между увольнением и принятием на новую - до месяца, то стаж не прервётся.

Если уже устроились: скажите ПРАВДУ - зачем Вам надо и на сколько дней. Скажите, что потом отработаете сверхурочно или это пойдет в счет отпуска: очередной отпуск, на который Вы имеете право только через 6 месяцев после оформления, будет короче на столько дней, сколько Вы пропустите сейчас, но неофициально. Вы напишете заявление на полный отпуск и получите отпускные, но отгуляете на 5 дней меньше, скажем (но в этом случае, не надо писать сейчас на отпуск без содержания)
Начальник должен увидеть 2 вещи: 1. Серьёзность и неотложность Ваших дел, 2. Вашу серьёзность и ответственный подход по отношению к компании, нежелание кидать своих коллег. Увидев это, скорее всего, он пойдёт Вам навстречу

может имеет смысл договорится на новой работе, чтобы Вас оформили после того, как Вы решите свои дела

Конечно если руководство доброе.