Как правильно, ехать в карете или на карете?

В карете. Мона у извозчика спросить...)))

Правила управления глагола ЕХАТЬ говорят, что В карете:
Предлоги при названиях закрытых и открытых видов экипажей: в карете, в лимузине – на дрожках, на санках.
Но:
При названиях средств передвижения обычно употребляется предлог НА: на теплоходе, на катере, на поезде, на трамвае, на автобусе, на метро, на самолёте и т. д. Употребление предлога в предполагает нахождение внутри предмета: спал в автомобиле, сидел в машине, обедал в самолете, рыба валялась в лодке и т. д.

Возможные варианты связаны с условиями контекста; ср. : с трудом удалось сесть в трамвай – сел на трамвай, чтобы скорее добраться до дому.
Вероятно, есть и другие варианты контекста: "Украинец едет в Париж на карете". Здесь акцент делается именно на средство передвижения, поэтому НА.
Кстати, существуют (в Париже) и кареты-автобусы, пассажиры там едут на карете-автобусе.
Вероятно, Вам встретился такой случай, если Вы спрашиваете.

Если открытая (всмысле без крыши) - на карете
если закрытая - в карете

можешь и НА проехать\ от смысла зависит

Туда надо ехать на автобусе. (Автобус как вид транспорта. )
Я заснул в автобусе. (Находясь внутри автобуса, в салоне автобуса. )

Карета как вид транспорта.. . вряд ли можно так сказать. Поэтому: ехать в карете.

смотря кто.. . кучер сверху сидит... .
на карете НЕ верно, как-то уж по-деревенски
-------
А без крыши это вообще не карета. карета должна быть крытая.
в карете, в повозке... но на лошади, на трамвае

Едет в карете, конечно. А кучер не едет, а везет.
На этом, кстати, построена неожиданная концовка старой песни "Едет, едет, едет к ней... " Прежний слушатель знал, что едет ездок, а не кучер. Потому поворот "... и цалует ямщика! " оказывался шоком, забавным анекдотом. Нынешнему человеку это малопонятно.