может ли женщина подать на отцовство при этом не появляться в течении трёх лет и получать пособие как мать одиночка

пока в св-ве прочерк в графе отец и судом не установлено отцовство, вы имеете право на пособие, если установив отцовство, вы умолчите в соцзащите, то на вас подадут в суд за неосновательное обогащение

Все ответы в точку! И кстати органы ЗАГС ежемесячно отправляют инфо в соц. защиту, так что обогатиться не удасться.

выплата прекращается со дня вступления в законную силу
все равно придеться деньги вернуть обратно государству

Может в любой момент . С момента признания отцовства ей прекратится выплата пособия. И возвращать ничего не придется.