Может ли перейти собственность к нам?

нет, либо она перешла в собственность, либо она выморочное имущество и Вам ничего не положено

Живите, пока не объявится собственник с законным требованием освободить.
Не будете освобождать- выселит реш. суда.
Наем предполагает наличие дог. в прост. письм. форме- это требование ГК РФ, срочность договора, возмездность.
есть ли договор у вас? кому платите за наем?
При отсутствии договора- самозахват.
Известно хоть вам кто собственник?
М. б. ваще квартира муниципальная.
Какой налог платите?
Что приходит ежегодное извещение об оплате налога на имущество из налоговой- и вы оплачиваете? На чье имя извещение?
Какую еще "квартплату"?
Платить можете только за жилищные и коммунальные услуги, и плату за наем- собственнику, раз по договору найма проживаете.

Живите, но подыскивайте себе другое жилье, на всякий случай.

Если квартира находилась в собственности этой женщины, то да. Только не сейчас, а через 15 лет проживания ( приобретательская давность) и на основании решения суда. Если, конечно, кто-то из родственников не оформил ее на себя. И если суд по иску финансового органа не признает эту квартиру вымороченным имуществом ( автоматически оно таковым считаться не может).

Не, ничего вам не светит. Если наследники не обьявятся, отберёт муниципалитет как выморочное имущество А вас выкинут из квартиры. И никакой суд вам не поможет.

Статья 234 ГК РФ, посвященная приобретательной давности, гласит: лицо, не являющееся собственником имущества, но добросовестно, открыто и непрерывно владеющее как своим собственным недвижимым имуществом в течение 15 лет, приобретает право собственности на это имущество.
Из определения видно, что для возникновения права собственности недостаточно просто пользоваться имуществом, необходимо соблюсти некоторые условия, а именно: добросовестность, открытость и непрерывность владения в течение 15 лет.
Возникает ряд вопросов: что означает добросовестное, открытое владение и как исчисляется срок непрерывного владения?
Определение добросовестного приобретателя вытекает из содержания ст. 302 ГК РФ. Из данной нормы следует, что им является лицо, которое, приобретая имущество, не знало и не могло знать о правах других лиц в отношении этого имущества.

Вы же знаете о праве других лиц на данное имущество, так что Вам по закону ничего не светит.