формула фокуса параболы

Идя от обратного, предположим, что парабола задана геометрически, то есть известны ее фокус и директриса. Для простоты расчетов установим систему координат так, чтобы директриса была параллельна оси ординат, фокус лежал на оси абсцисс, а сама ось ординат проходила точно посередине между фокусом и директрисой. Тогда вершина параболы будет совпадать с началом координат.

Иными словами, если расстояние между фокусом и директрисой обозначить p, то координаты фокуса будут равны (p/2, 0), а уравнение директрисы — x = -p/2.

2
Расстояние от любой точки (x, y) до точки фокуса будет равно, по формуле расстояния между точками, √(x - p/2)^2 + y^2). Расстояние от этой же точки до директрисы, соответственно, будет равняться x + p/2.

3
Приравнивая друг другу эти два расстояния, вы получите уравнение: √(x - p/2)^2 + y^2) = x + p/2.

Возводя обе части уравнения в квадрат и раскрывая скобки, вы получите: x^2 - px + (p^2)/4 + y^2 = x^2 + px + (p^2)/4.

Упростив выражение, вы придете к окончательной формулировке уравнения параболы: y^2 = 2px.

4
Из этого видно, что если уравнение параболы можно привести к виду y^2 = kx, то координаты ее фокуса будут равны (k/4, 0). Поменяв переменные местами, вы придете к алгебраическому уравнению параболы y = (1/k)*x^2. Координаты фокуса этой параболы равны (0, k/4).

5
Парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, обычно задается уравнением y = Ax^2 + Bx + C, где A, B, и C — константы. Ось такой параболы параллельна оси ординат.

Производная квадратичной функции, заданной трехчленом Ax^2 + Bx + C, равна 2Ax + B. Она обращается в ноль при x = -B/2A. Таким образом, координаты вершины параболы равны (-B/2A, - B^2/(4A) + C).

6
Такая парабола полностью эквивалентна параболе, заданной уравнением y = Ax^2, сдвинутой путем параллельного переноса на -B/2A по оси абсцисс и на -B^2/(4A) + C по оси ординат. Это легко проверить заменой координат. Следовательно, если вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится в точке (x, y), то фокус этой параболы находится в точке (x, y + 1/(4A).

7
Подставляя в эту формулу вычисленные на предыдущем шаге значения координат вершины параболы и упрощая выражения, вы окончательно получите:

x = - B/2A,
y = - (B^2 - 1)/4A + C.