На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки К, L и M, причём АК : КВ = 2 : 3, BL : LC = 1 : 2, СМ : МА = 3 : 1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок ВМ?
Советую применить теорему Менелая т. к. решать через подобие треугольников долго.
Для этого продолжишь KL до пересечения прямой АС в точке А1.
После этого находишь соотношение: АА1 к АС, а затем уже ВО к ОМ. 
Будут вопросы - пиши в агент.
К стати, ответ : пополам....
1) Можно так
S(ABC) = S
S(BLK) = 1/3 * 1/3 * S= S/9
S(CML) = 2/3 * 3/4 * S= S/2
S(AKM) = 1/4 * 2/3 * S= S/6
S(KLM) = S - S(1/9 + 1/2 +1/6) = 2S/9
KL ∩ BM = O
BO / OM = S(BLK) / S(KLM) = 1/2
2) Можно с помощью Центра масс
Рассмотрим систему материальных точек A(3); B(8); C(1).
Разобьем ее на две подсистемы
A(3); B(6) с центром масс в точке K(9)
C(1); B(2) с центром масс в точке L(3)
Значит, центр масс исходной системы лежит на KL
С другой стороны, центр масс A(3); C(1) находится в точке M(4).
Значит, центр масс исходной системы лежит и на BM.
Следовательно, центр масс исходной системы находится в точке О = KL ∩ BM и, по правилу рычага,
BO / OM = 4/8 = 1/2.
KO / OL = 3/9 = 1/3
3) △ABC ∾ △KBL => KL || AB => по Фалесу BO / OM = BK / KA = 1/2
от руки черновой вариант решил (явно не будет считаться за решение) получилось 1 : 3
⇢