Если я подаю на гражданство другой страны и получаю, значит уже автоматически анулируется былое гражданство??

Нет. не анулируется. Вопервых нужно различить два понятия:

Двойное гражданство ( как уже было сказано у Российского гражданина может быть двойное гражданство с Казахстаном и Киргизией) . Это означает, что у России с Казахстаном например есть договор о двойном гражданстве, там регулируются некоторые налоговые, административные, семейные и иные вопросы.

Два гражданства (и более) означает, что у вас может быть сколько угодно гражданств, например Российское и Украинское или яркий пример у Познера три гражданства Российское, Французское и Американское. Особенностью является то, что между этими странами и Россией нет специального договора, соответственно могут возникнуть ряд проблем\вопросов. Но как правило у многих таких проблем уже есть прецедент и они решаемы.

Личный пример: мои дедушка и бабушка, граждане Украины переехали ко мне в Россию, сперваоформляли дедушку и по глупости отдали украинский паспорт, таки образом он негласно отказался от гражданства, с бабушкой мы были поопытнее и паспорт украинский отказались отдавать, и соотвествтенно у нее два гражданства.