Французский бульдог. Она очень тяжело дышит ртом, при этом нос сухой и тёплый. С чем это может быть связано

Потому, что они мутанты. Искаверканая порода собак. У них вся дыхалка неправильная. Что вы хотите.

Нужно срочно обратиться к ветеринару.

Нужно показать ветеринарному кардиологу. И уж конечно не тянуть с визитом к доктору.