существует 3 варианта
1)по месту жительства (постоянной прописке) - т. е. в Липецке. В этом случае срок оформления паспорта - 1 месяц
2)по месту временной регистрации (в Москве) - 4 месяца, либо
3)по месту пребывания (в Москве) - 4 месяца.
В случаях 2 и 3 есть ньюанс. Когда придете забирать паспорт у вас на руках должна быть ДЕЙСТВУЮЩАЯ регистрация в Москве ( не просроченная) . Если ее не будет, то назначат штраф, в Москве довольно значительный (может и до 10 МРОТ) .
Поэтому, елси решите подавать в Москве, посчитайте все, чтобы не вышло, что через 4 месяца, когда будет готов паспорт, регистрация станет недействительной.