Вопрос такого характера. Как решить неравенства cos(4x) - 1 < 0 и cos(4x) - 1 > 0 (это не система неравенств, отдельные неравенства) . В частности, мне непонятно, почему cos(4x) - 1 < 0 имеет решение (x не равен 2pi*N), а cos(4x) - 1 > 0 не имеет решений. Объясните, пожалуйста, почему и как это решение получить.
А ты знаешь угол, косинус которого больше единицы?!
В первом случае ( cos(4x) - 1 < 0 ) неравенство можно преобразовать к виду cos(4x) < 1. Область значений функции cos - отрезок [-1; 1], т. е. cos t = a - уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда a больше либо равно 1, но меньше либо равно 1. t может быть равна чему угодно, например 4x.
Т. е. при любом t всегда -1<= cos t <= 1
Наше неравенство выполняется всегда, когда не выполняется противоположное ему неравенство cos(4x) >=1, которое представляет собой совокупность уравнения cos(4x) = 1 и неравенства сos (4x) > 1. Последнее неравенство не имеет решений, потому что -1<= cos t <= 1 при любом t. Уравнение cos 4x = 1 имеет на периоде функции cos(4x) только одно решение 4x = 0 или x = 0. Период этой функции равен pi/2 (а не 2pi), поэтому все решения уравнения будут такими x = 0 + pi*N/2 = pi*N/2, где N - любое целое число.
Итак, неравенство cos(4x) >=1 верно тогда и только тогда, когда x = pi*N/2, значит, противоположное ему неравенство (исходное) верно торгда и только тогда, когда х равен любому числу, кроме pi*N/2.
Второе из данных неравенств ( cos(4x) - 1 > 0 ), как мы только что выяснили, не имеет решений.
⇢