мной какая часть речи и какой падеж

Это МЕСТОИМЕНИЕ.

МНОЙ – это ЛИЧНОЕ МЕСТОИМЕНИЕ 1-го лица единственного числа Я в творительном падеже.

Напомню: местоимение – это самостоятельная часть речи, которая указывает на предметы, признаки, количества, но не называет их. Местоимение МНОЙ (Я):
● указывает на предмет, но не называет его;
● отвечает на вопрос КЕМ? (начальная форма – на вопрос КТО?).

Памятка из Интернета Вам в помощь (местоимения в ней даны в начальной форме):
.