Можно ли сделать морфемный разбор союза "чтобы"? А других служебных частей речи?

Для разбора союза и любой другой служебной части речи (и самостоятельной тоже) надо предложение записать с этим словом, например:

Я в мир пришёл, чтобы не соглашаться. (М Горькой)

Чтобы – союз.
I Соединяет части сложноподчинённого предложения: [ ___ ==], (чтобы ==).
II Морфологические признаки – подчинительный, ЦЕЛЕВОЙ, простой.
III Не член предложения.

Меня предупредили, ЧТОБЫ я не опаздывал
Чтобы – союз.
I Соединяет части сложноподчинённого предложения: [==], (чтобы ___==).
II Морфологические признаки – подчинительный, ИЗЪЯСНИТЕЛЬНЫЙ, простой.
III Не член предложения.

Мы поехали в соседний городок НА электричке.

На – предлог.
I Выражает зависимость существительного электричке от глагола поехали, в предложении выражает ОБЪЕКТНЫЕ отношения.
II Морфологические признаки – неизменяемая часть речи, непроизводный, простой, употреблён с предложным падежом.
III Не член предложения.

Мы рыбачим НА реке.

На – предлог.
I Выражает зависимость существительного реке от глагола рыбачим, в предложении выражает ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ отношения.
II Морфологические признаки – неизменяемая часть речи, непроизводный, простой, употреблён с предложным падежом.
III Не член предложения.

НЕ унижай себя просьбами, особенно тогда, когда дело касается твоей учёбы.

Не – частица.
I Вносит в предложение значение отрицания.
II Морфологические признаки – отрицательная, неизменяемая часть речи
III Не член предложения.
.