В задаче без ограничений найти стационарные точки, проверить их на экстремальность, а также найти все локальные и глобальные минимумы и масимумы.
Сама функция задана неявно: x=f(y,z)
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0
Матрица
-1;0
0;-1
является ни положительно определённой, ни отрицательно?
Так же, как и у явно заданной.
Т. е. стационарные точки - из необходимого условия - равенства частных производных f первого порядка нулю, по ее переменным у, z.
Проверка найденных точек на экстремальность - из достаточного условия, матрица из вторых производных f в "подозрительных" точках должна быть знакооопределенной.
Единственное различие - Вам, кроме двух координат (у, z) стационарной точки понадобится и третья x, которая ищется из необходимого условия экстремума и уравнения F = 0, задающего неявно функцию f. В Вашем случае для каждой пары (y,z) таких абсцисс х будет две. Заметьте, что абсцисса по совместительству= значению функции f(у, z). Критерий Сильвестра знакоопределености матрицы выдаст Вам одну точку локального минимума и одну - локального максимума. Значение x в них -соотв. локальный минимум и максимум.
Что эти же экстремумы глобальные, проще всего показывать из обзих соображений. Поскольку само уравнение F=0 - уравнение эллипсоида ( смещенного из центра координат и с неортогональными осями) , то, как у всякой компактной поверхности, глобальный минимум (и максимум) переменной x единственный, а значит, совпадает с найдеными локальными экстремумами.
Без использования общих соображений - придется искать область определения функции, а это неприятно, хотя в данном случае, возможно.
ЗЫ Матрица Ваша отрицательно определена. Знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса.
⇢