Как найти наименьшее значение выражения ctg^2 x+4 ctg x+cos^2 y-6 cos y ?

Сумма (ctg^2 x + 4ctg x) + (cos^2 x - 6 cos y) представляет собой сумму слагаемых, зависящих от разных переменных. Следовательно, она принимает наименьшее значение тогда, когда каждое слагаемое этой суммы принимает наименьшее значение (каждая скобка) .
Чтобы найти наименьшее значение скобки X = (ctg^2 x + 4ctg x) достаточно заметить, что это квадратичная функция относительно ctg x, ветви параболы, построенной в координатах X - ctg x направлены вверх, следовательно, она принимает наименьшее значение в вершине параболы ctg x = -4/2 = -2, отсюда X = -4.
Таким же способом вычислить наименьшее значение скобки Y = (cos^2 x - 6 cos y) нельзя, т. к. получается, что cosy = 3, что невозможно. Для этого приходится брать производную Y' = -2sin y cosy + 6siny = 2sin y (-cosy + 3). Она равна нулю, если хотя бы один из сомножителей siny, 3-cos y равен нулю. Второй сомножитель не может быть равен нулю. Если sin y = 0, то либо cos y = 1, либо cos y = -1. При cos y = 1 Y принимает минимальное значение, равное -5, при cos y = -1 - максимальное, равное 7.
Следовательно, всё выражение принимает минимальное значение, равное X+Y = -4-5 = -9.

Можно найти минимальное значение Y и без производной, сделав такое преобразование
cos^2 y - 6cos y = cos^2 y - 2*3*cos y + 9 - 9 = (cos y - 3)^2 - 9
Это выражение минимально, когда cosy - 3 наиболее близко к нулю - при cos y = 1, откуда Y = -5.

В любом случае, ответ в этой задачи: -9.