Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения x^''+2x^'+x=const; x(0)=0, x^' (0)=0

Исходное уравнение:
x'' + 2x' + x = C

Если x(t) -> X(p), то:
x'(t) -> pX(p) - x(0) = pX(p)
x''(t) -> p(pX(p)) - x'(0) = p^2 X(p)
C -> C/p

Тогда изображение задачи имеет вид:
p^2 X(p) + 2pX(p) + X(p) = C/p

Находим X(p):
X(p) = C / [p(p+1)^2] =
C/p - C(p+2)/(p+1)^2 =
C/p - C(p+1+1)/(p+1)^2 =
C/p - C/(p+1) - C/(p+1)^2

Находим оригинал:
C/p <- C
C/(p+1) <- C e^(-t)
C/(p+1)^2 <- C t e^(-t)

Получаем ответ:
x(t) = C[1 - e^(-t) - t e^(-t)]