Такой вопрос - допустим мы решаем неравенство с модулем - если мы будем использовать для раскрытия модуля только нестрогие неравенства - может ли это стать причиной ошибки? Обязательно ли одно неравенство (при раскрытии модуля) задавать строгим а второе нестрогим. Есть ли необходимость проверить это критической точки отдельно - точки где модуль меняет знак.
Спасибо
Вообще-то нужно в одном случае использовать нестрогое неравенство, когда функция под модулем положительна, а во втором - нестрогое, когда она отрицательна. Иначе получилось бы так, что функция модуль была бы определена дважды в одной и той же точке, что недопустима.
Другое дело, что она там определена одинаково, так что использование обоих нестрогих неравенств не приведёт к ошибке в вычислении, но приведёт к ошибке в логическом построении. Мне преподаватель по мат. анализу объясняла, что нужно (а не просто можно) использовать оба неравенства нестрогие, но я считаю, что это неправильно. В любом случае изначально модуль определяется, как само подмодульное выражение, если оно НЕОТРИЦАТЕЛЬНО (либо положительно, либо ноль) и как минус подмодульное выражение, если оно ОТРИЦАТЕЛЬНО.
Так что лучше раскрывать модуль именно так - ошибки точно не возникнет.
Теперь насчёт критической точки. Модуль не может менять знак, модуль по своему существу всегда больше либо равен 0. Вот знак производной модуля может измениться. Критическая точка - это такая, которая может быть точкой экстремума. Если точка не критическая, она не точка экстремума, но не наоборот. Легко доказать, что в этой точке функция может не быть дифференцируемой, поэтому при переходе через эту точку может быть всё что угодно, в частности то, что знак производной может быть разным слева и справа от этой точки, т. е. это будет точка экстремума.
Но и здесь нужно использовать определение модуля (одно неравенство нестрогое, а второе строгое) . И в любом случае производная функции либо не существует, либо может быть равна 0, т. е. будет критической точкой. И хотя использование обоих нестрогих неравенств не будет являться причиной ошибки в расчётах, но такое раскрытие модуля не соответствует определению.
⇢