Что делать если обнаружил повреждения после мойки? Страховая требует справки от компетентных органов.

Для начала - какая страховая? Тут, если что и можно получить, то только по КАСКО. Повредили на мойке или обнаружились ранее полученные повреждения? Если повреждения давнишние, то СК может вовсе отказать в выплате. Если недавние или на мойке повредили, то вызывайте ГАИ (если авто на дороге) или местное ОВД (если во дворе).
ПС: А вообще читайте свой страховой договор. Сколы, к примеру, как правило по КАСКО не страховой случай.