могу ли я претендовать на часть жилплощади сожительницы

Нет, вы там никто! да хоть и сейчас замуж её позовёте всё равно нет, она вами не приобретена в браке. так что хоть 20 лет там проживите, а кусочка от квартирки вам не достанется....

Родственных связей с сожительницей нет (брак не оформлен) .
Регистрации в квартире нет.

Вывод: никаких прав на квартиру у вас нет.

Ребенок с вами хочет остаться? А вы у него в свидетельстве отцом хоть записаны? Или ребенку вы тоже юридически чужой человек? Если записаны, то вопрос проживания ребенка будет решать суд. И естественно, оставит его матери а не бездомному папе. Мнение самого ребенка до 12 лет не учитывается.

Про квартиру написали все правильно - никаких прав ВЫ не имеете и шансов у Вас практически нет. Если только Вы ДОКАЖИТЕ ДОКУМЕНТАМИ, что вкладывали средства в квартиру и произвели неотделимые улучшения, существенно увеличившие коммерческую стоимость жилья, то мааааленький шанс есть.
Если ВЫ записаны в свидетельстве о рождении ребенка, то по закону у Вас РАВНЫЕ права. Измышления г-жи Виноградовой о том, кому оставит ребенка в случае отсутствия соглашения и решения вопроса в суде и её мнение по поводу возраста являются примитивным бредом, показывающим полное незнание законодательства.

Ознакомившись с Постановлением Пленума Верховного Суда РФ от 27.05.1998 N 10 (ред. от 06.02.2007) "О применении судами законодательства при разрешении споров, связанных с воспитанием детей" Вы узнаете, что более "богатый" в денежном или имущественном плане родитель не имеет никаких преимуществ. Были случаи, когда ребенка оставляли живущему в съемной однокомнатной квартире родителю, несмотря на то, что второй родитель имел в собственности стометровую трешку. Мнение ребенка до 10 лет судом обязательно ВЫСЛУШИВАЕТСЯ, а с 10 лет УЧИТЫВАЕТСЯ в обязательном порядке.

сходите лучше к юристу.

нет ...

вроде нет -вы даже не муж