ИТ-специалист - это слишком широкое понятие.
В него укладывается много направлений специализации.
Программист - одно из ИТ-направлений.
При необходимости любой ИТ-специалист может достаточно легко овладеть разработкой сайтов, если его этому не учили.
учат всему понемногу, вы сами выбираете, что вы хотите знать, в чем будете совершенствоваться - и изучаете эту тему подробно и на практике. IT - специалист - нет, наверное, такого официального названия специальности. А вот специальность "программист" в дипломе пишут.
ИТ- специалист - это знаток в ИТ сфере. Тот кто умеет использовать различные ПО, для решения той или иной задачи. (Но это широкое понятие, не каждый подходит под это определение)
Программист (Системный, не прикладной) - тот кто эту ИТ сферу разрабатывает, дорабатывает, улучшает, дополняет.
Может ли программист назвать себя ИТ специалистом? - может.
Может ли ИТишник - назвать себя программистом? - не каждый.
Делать веб сайты это скорее дизайнер, верстальщик.