Чем отличаются глаголы в английском языке? В чем различие между модальными, смысловыми и вспомогательными глаголами?

Модальные глаголы нельзя использовать отдельно от других (если это не краткий ответ на вопрос) . Это такие глаголы как can, may, should, need и т. д. Они образуют составные сказуемые. Выражают не собственно действие, а отношение к нему. В русском они тоже есть (должен, может, нужно и т. д.) .
Например:
He CAN swim. - Он умеет плавать.
You NEEDN'T do it. - Вам не нужно это делать. (Нет необходимости)
I MAY come with them. - Мне можно пойти с ними.

Вспомогательные глаголы служат для образования сложных форм глаголов. Например, времен, вопросов, кратких ответов на эти вопросы. К вспомогательным глаголам относятся will, would, to have (has, had), to be (am, is, are), to do (именно для вопросов и ответов) .
He WILL go to the cinema tomorrow. - Он пойдет в кино завтра.
WILL you go there? - Ты пойдешь туда?
I WOULD go there. - Я бы туда пошел.
They HAVE done their homework. - Они сделали домашнюю работу.
DO you speak Russian? - Ты говоришь по-русски?
Yes, I DO. - Да/Да, говорю. (Тот самый краткий ответ)
I AM watching a movie. - Я смотрю фильм.

Смысловые глаголы - самая многочисленная группа глаголов. Образуют простое глагольное сказуемое (выражаются одним словом) . По сути эти глаголы являются самостоятельными. Обозначают непосредственно действие (play, work, learn, burn, stay, watch, buy и т. д.) . Изменяются во временам (неправильные формы в прошедшем времени, окончание -ed в прошедшем времени, -ing в настоящем длящемся, если возможно) .
He plays football. - Он играет в футбол.
I worked yesterday. - Я вчера работал.
I am drinking water now. - Я сейчас пью воду.
She bought a new dress. - Она купила новое платье. (bought - неправильная форма buy).

К смысловым глаголам относятся статичные, т. е. те, которые выражают не действия, а чувства, состояние (understand, believe, think, see, suppose и т. д.) . Не могут иметь окончание -ing. Есть некоторые исключения по этому поводу, но встречаются крайне редко.
He thinks that it's easy. - Он думает, что это просто.
I see him. - Я его вижу.
Do you understand me? - Ты меня понимаешь?

Примечание. Глагол have может быть и статичным, если употребляется в значении "иметь", а не для образования вопроса или времени глагола. Например:

1) I have a cat. - У меня есть кошка. (Дословно "я имею кошку").
Здесь have - это именно действие "иметь".

2) I have been waiting for you about 2 hours. - Я жду тебя около 2 часов.
Have you done your homework? - Ты сделал домашнюю работу?
В данных примерах have - вспомогательный глагол, он не переводится на русский. Он помогает образовать время глагола или задать вопрос.