если начальник не хочет вам отпуск без содержания предоставлять, а вы не относитесь к категории работников, которым обязаны по их желанию этот отпуск предоставить (ст. 128 ТК РФ) , то ни как не уйти, начальник прав. остается разве, что "заболеть" и уйти на больничный.
проси день за свой счет по семейным обстоятельствам.
Если идет речь о ЕОО, то один день отпуска - это не нормально. А вот без сохранения з/п вполне возможно, Pyih прав (а)...
если не дает за свой счет попросите в счет будущего оплачиваемого отпуска или в счет переработок, если и так нет попробуйте отпроситься к врачу (нормальный всегда отпустит), или уважительная причина - свадьба, похороны, болезнь близких родственников, суд - и ты можешь подтвердить документально - то не имеет права отказать. Если ничего не помогает возьмите больничный