найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: dy/dx=y*cosx; y=1 при x=0

dy/dx = y*cos(x) <=> dy/y = cos(x)*dx, или y=0 (тождественно) .
переменные разделились, интегрируем:

ln|y| = sin(x) + C,

e^(ln|y|) = |y| = e^(sin(x)+C) = (e^(C))*e^(sin(x)),

|y| = e^(C)*e^(sin(x)), или y=0 (тождественно) ,

y = (+/-)*e^(C)*e^(sin(x)), переобозначив C1 = (+/-)*e^(C), или C1=0 (в случае y=0),

y= C1*e^(sin(x)),

нач. усл-е:

y(0) = C1*e^(sin(0)) = C1*e^(0) = C1=1,

т. о. частное решение:

y=e^(sin(x)).