как правильно написать "попросил выгулить собаку" или "попросил выгулять собаку"

Выгуглить.

Слово "гулить" тоже существует, но к собакам не имеет отношения. Так называют младенческий лепет.

Выгулять.
С тебя полтинник.

Выгулять, ты что русский язык не учил?

А слово «гулять» никогда не слышал?

Выгулять, отвечаю чисто ради баллов

Выгулять. Выгуливать. Выгуливали.