Для дифференцированного уравнения найти общее решение. y''+4y'+29=0

Если всё записано правильно, то это линейное неоднородное уравнение. Переносим константу 29 в правую часть - она у нас будет влияющей функцией. Общее решение такого неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения (без правой части) и любого частного решения неоднородного уравнения.
1. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y''+4y'=0. Для этого подставим в него решение в виде экспоненты у=Exp[L*t]. После подстановки и сокращения этой самой экспоненты (она у всех слагаемых будет одинаковой, так как ур-ние линейное) выходит характеристическое уравнение L^2+4*L=0. Его решения - L1=0, L2=-4. Общее решение однородного уравнения будет суммой экспонент Exp[L*t] с двумя возможными L и произвольными постоянными множителями (например, A и . Имеем у1=А*Exp[-4*t]+В.
2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку влияющей функцией является константа, решение можно подставлять в виде у2=С*t+D. При этом, поскольку в общее решение уже вошла произвольная константа В, константу D можно считать вошедшей в неё и не искать. Подставляем у2=С*t в исходное ур-ние y''+4y'+29=0, получаем С+29=0, С=-29.
3. Общее решение будет суммой у1 и у2
у=у1+у2= А*Exp[-4*t]+В-29*t, где А и В - произвольные постоянные, которые можно найти только из дополнительных условий (начальных или граничных)