Где и как можно узнать точные сведения о рождении ребенка, какое отчество, дата рождения и т. д

если связи есть в загсе или через милицию

обратиться к детективу, либо окольными путями, а как-это зависит от конкретной ситуации.
а насчет внебрачного-бывает фамилия и отчество чужие, а ребенок свой.
в данной ситуации вообще то лучше сделать днк-тест сразу, чем ломать себе голову (анонимно)... вроде бы даже по волосам возможно.. но это уже наверняка))

в свидетельстве посмотреть)

Вряд ли кто-то в официальном учреждении вправе дать Вам такую информацию.

Раз вам не дают посмотреть свидетельство - не вашего ума это дело. Отвратительно использовать ребенка и сведения о нем, чтобы сделать гадость ближнему своему. Ребенок по любому не виноват ни в чем.
А по существу - если вы не ближайший родственник (мама, папа. бабушка, дед и всякие др. родственники могут такие данные получить только доказав документально, что родителей нет у ребенка) , никто вам такие сведения не даст.

дату можете узнать, кому то на лапу сунуть, в поликлинике детской или в садике, там же и имя. а что вам даст имя? оно 100% не ваше. женщина неможет дать ребенку ваше отчество и фамилию без вашего участия. также неможет указать вас отцом. в любом случае раз она нехочет чтоб вы знали, то идите своей дорогой и не доставайте человека

в поликлинике медкарточку без паспорта и полиса частенько дают
( можно сказать что забыл) ой а вы ж фамилии не знаете) ) фамилия матери скорее всего
там на первой странице вклеена копия свидетельства о рождении