Надо ли инспектору, при остановке моего авто, предъявлять договор купли-продажи вместе с остальными документами?

Если вы уже поставили авто на учет на свое имя и получили СТС, то ДКП вообще уберите в папку дома. Он, возможно, потребуется только при подаче декларации в налоговую после продажи авто.
Если же авто только купили, то ездить до постановки на учет нужно с ПТС и ДКП.

Нет конечно. Его это не касается. Ему показываешь страховку, в которой ТЫ вписан, и действующую доверку. Ну и доки на машину и права. Если начинает требовать что-то ещё можешь смело его на х. й посылать. Это развод чистой воды.

фотку бабушки не забудь

Права и свидетельство. Страховку если попросит. Ему думаете не по барабану у кого вы авто купили? Ему главное чтоб документы на само авто были, а не на владельца.

Права и свидетельство о регистрации