Найдите все целые k, при которых значения дроби (К в квадрате + К-8)/ К-1 являются целым числом?

Не знаю, такого ли решения от вас ждут, но предложить могу следующее:

1. Превращаем числитель во что-то, что выглядит как P(K)*(K-1)+N, где N - целое, а P(K) - некоторый полином от К. Надеюсь, вам объясняли, как это делать (можно просто "поделить" полином K^2+K-8 на K-1 уголком, как делят обычные числа) . В общем, получается, что K^2+K-8=(K+2)*(K-1)-6. Первое слагаемое заведомо нацело делится на K-1 при любых целых K (не равных 1, естественно) .

2. Осталось выяснить, при каких целых K частное -6/(K-1) является целым. Числитель раскладывается на целые множители вполне ограниченным числом способов: -6=(-1)*6, (-6)*1, (-2)*3, (-3)*2. Отсюда получаем, что K-1 должно быть равно одному из чисел: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. Отсюда получаем все ВОСЕМЬ (!) решений задачи.