можно ли взять выходной в свой день рождения? оговаривается ли это в законе?

Ваш День рождения является государственным праздником?

При согласии руководства либо за свой счет, либо 1 день в счет оплачиваемого отпуска.

Нет, это твоё личное дело. Выходной можно взять только за свой счёт по договорённости с начальством.

Можно взять обычный отгул.... только этот день не оплачивается.

Увы, официально, нет, но договориться с начальством можно всегда,

Нет не оговаривается, а отпуск без содержания или отгул взять можно, но только с согласия руководителя.