как правильно на английском?

Правильный вариант - ай эм э бьюзи персон

Предыдущий оратор что-то напутал, с определённым артиклем это выражение будет звучать высокомерно, т. к. замена "а/ан" на "тхе" делает акцент на существительным, "усиливает" его. Такая вот тонкость английской грамматики.

I`m a busy person

Ну, в английском 2 вида артиклей: неопределенный и определенный.

Неопределенный "a, an" ставится в случаях, если речь идет о неизвестном предмете, явлении:

"A man came" - мужчина (какой-то незнакомый) пришел.

Но: "The man, who knows my father, came" - мужчина, который знает моего отца, пришел.

Вы знаете как себя (надеюсь) , так и свою занятость: )
Поэтому, правильнее:
I am THE busy person.

Без артикля - не ошибка. Но с артиклем как-то подчеркнутей, красноречивее. "Не какая-нибудь, а вот такая занятая! ":)

Артикль не употребляется, если есть притяжательное местоимение (вот тут будет ошибкой употребить артикль)
Нельзя сказать6"This is my the room", только: "This is my room".
Также НЕЛЬЗЯ употреблять артикль после существительного в притяжательном падеже:
This is Peter's car.
Артикль не употребляется после местоимений this, that, those, после формулы "... kind of":
Take this map. Don't sit on that chair!
What kind of cover would you like?
Обычно артикль не употребляется перед существительными, обозначающими абстрактные понятия: life, death, love, hate, tenderness, и т. д. Однако, в песнях и поэзии часто употребляют артикль с ними (для ритма)

Ну и, конечно же, неопределенный артикль произошел от числительного "one", поэтому, может употребляться ТОЛЬКО в единственном числе. Поэтому, если какие-то незнакомые мужчинЫ пришли, то артикль употреблять не будем (неопределенный употреблять безграмотно, определенный - изменим смысл) :

"Men came"