Можно ли написать заявление на увольнение перед новым годом и войдут ли дни отработки в этот период??

Написать можно всегда. И понятия "отработка" не существует в трудовом законодательстве. Это просто расхожая фраза. Вы должны не отрабатывать, а УВЕДОМИТЬ о своем увольнении заблаговременно, за 2 недели. И в это время могут быть праздники, отпуск, больничный, война, землетрясение, отпуск директора - всё что угодно. Но через 2 недели Вам обязаны выдать на руки трудовую книжку, полный расчет и отпустить с миром.