трапеция авсд равнобедренная с основаниями вс=8,ад=20 и боковой стороной ав=10.

Окружностей с таким свойством две. Одна находится внутри трапеции, другая -- вне. Поэтому значений площади будет тоже два: это 36 и 76.

Рассмотрим оба случая. Пусть центр O находится внутри трапеции. Из теоремы Пифагора легко следует, что высота трапеции равна 8 (её так и можно нарисовать, начиная с квадрата со стороной 8, а потом пристраивая по бокам треугольники с катетами 8 и 6). Значит, радиус вписанной окружности равен 4, и такое же значение будет для второго случая. При этом точка O лежит на средней линии (во втором случае -- на её продолжении).

Найдём длину отрезка OM, где M -- середина CD. Это можно сделать многими способами -- в частности, ввести некоторые обозначения длин и составить уравнения. Но проще, наверное, поступить так: провести прямую, параллельную AB, которая касается окружности. Тогда получится описанная около этой окружности равнобочная трапеция. По свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон для него равны. Сумма боковых сторон равна 20, и тогда это сумма оснований, откуда следует, что средняя линия описанной трапеции равна 10 (то есть боковой стороне). Понятно, что O делит эту среднюю линию пополам, откуда OM=5.

Теперь пусть K -- середина AB. Треугольник ABO разделён отрезком KO на две части. При этом KM=(8+20)/2=14, и KO=KM-OM=14-5=9. Высоты у треугольников BKO, AKO равны 4, и сумма площадей равна 4*9=36.

Второй случай аналогичен первому: центр O' окружности вне трапеции симметричен точке O относительно M. Поэтому MO'=MO=5. Тогда KO'=KM+MO'=14+5=19, и площадь ABO' равна 76.