Органы все могут, в том числе опеки и попечительства.
Вообще спорная практика удостоверять такие доверенности: на детей.... Давайте теперь и на мужей, и родителей давать. Т. е. то что возложено законом перекладывать на других людей.
Но это все демагогия. Нотариусы удостоверяют эти доверки на детей.
НО!!!! Доверенность никого не обязывает (ту женщину) и не лишает права исполнять свои родительские права мать, давшей такую доверенность.
Поэтому главным образом органы опеки будут смотреть на фактическое исполнение матери своих обязанностей перед ребенком.
С 14 лет подросток может жить отдельно от родителей. И кому выдавать доверенность на представление своих интересов, мать решает сама
Мама имеет право дать доверенность. Если ребенку более 14 лет, то он может жить отдельно если обучается в другом городе.