Что такое апостериорная энтропия?

Правильно выше сказали, что энтропия это степень неполноты, неопределённости знаний.
Апостериорная - это значит послеопытная. Похоже, у Вас в задаче проводится некий эксперимент с устройством, где рассчитывается энтропия на входе и на выходе этого устройства. Так вот Вам надо рассчитать энтропию на выходе.

Что такое Энтропия?

Вопрос: Что такое Энтропия? Где встречается? Существующие формулы?

Ответ: От греческого entropia -- поворот, превращение. Понятие энтропии впервые было введено в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Энтропия широко применяется и в других областях науки: в статистической физике как мера вероятности осуществления какого -- либо макроскопического состояния; в теории информации -- мера неопределенности какого-либо опыта (испытания) , который может иметь разные исходы. Все эти трактовки энтропии имеют глубокую внутреннюю связь.

Энтропия -- это функция состояния, то есть любому состоянию можно сопоставить вполне определенное (с точность до константы -- эта неопределенность убирается по договоренности, что при абсолютном нуле энтропия тоже равна нулю) значение энтропии.

Для обратимых (равновесных) процессов выполняется следующее математическое равенство (следствие так называемого равенства Клаузиуса)

,

где -- подведенная теплота, --температура, и -- состояния, и -- энтропия, соответствующая этим состояниям (здесь рассматривается процесс перехода из состояния в состояние ).

Для необратимых процессов выполняется неравенство, вытекающее из так называемого неравенства Клаузиуса

,

где -- подведенная теплота, --температура, и -- состояния, и -- энтропия, соответствующая этим состояниям.

Поэтому энтропия адиабатически изолированной (нет подвода или отвода тепла) системы при необратимых процессах может только возрастать.

Используя понятие энтропии Клаузиус (1876) дал наиболее общую формулировку 2-го начала термодинамики: при реальных (необратимых) адиабатических процессах энтропия возрастает, достигая максимального значения в состоянии равновесия (2-ое начало термодинамики не является абсолютным, оно нарушается при флуктуациях) .

Подводим итог: Что бы мы не делали -- энтропия увеличивается, следовательно любыми своими действиями мы увеличиваем хаос, и, следовательно, приближаем "конец света". Вероятно, можно точно подсчитать, когда он, то есть "конец света", наступит, но я думаю, что ближайшие несколько миллиардов лет можно об этом не беспокоиться.