Обстановка на работе . Может ли сотрудник написать заявление уволить его по сокращению ?

Конечно нет. И кто признается, что "выдавливает" сотрудника?

написать сотрудник может всё, что ему хочется. только работодатель выбросит такое заявление в мусорную корзину и будет прав. увольнение в связи с сокращением должности возможно только по инициативе работодателя, иное ТК РФ не предусмотрено. работнику не дано право инициировать сокращение занимаемой им должности.