не может, даже по собственному желанию. нет такой процедуры, чтоб с больничного увольнять. Только в случае получения инвалидности.
Так что если вы вдруг сильно заболели или "заболели" и приспичило уволиться по собственному, надо выйти на работу и написать заявление.
не уверен, что так и есть, но скорее всего не может. поищите юридические онлайн консультации. есть бесплатные юристы в сети, которые вам помогут.
может, по собственному желаниюсотрудника, если сотрудник принесет заявление и предупредит заявлением об увольнении за положенный по ТК РФ срок, сотрудник должен предупредить работодателя (если может) о своей болезни, обычно это прописано в ЛНА организации в ЛНА по Отхране труда. В случае увольнения НЕ по собственному желанию, уволенный сотрудник находящийся на больничном, может обратиться в СУД и его востановят на работе по решению СУДа и обязуют работодателя оплатить дни вынужденного прогула, пока сотрудник бегает по СУДам и востанавливается на работе. Больничный тоже, конечно. должны оплатить.