При наличии КАСКО лучше всё же обращаться в свою СК по КАСКО - не зря же Вы деньги такие платили! Обычно так и делается. По КАСКО и выплаты (ремонт или деньги) , как правило, адекватные. По ОСАГО же выплаты с учетом износа, и СК и это занижают. Так что потом еще бодаться придется с СК через суд, чтобы получить свое в полном объеме. При наличии виновника Ваша СК по КАСКО Вам ущерб возместит, а потом по суброгации затребует возмещения всех своих затрат с СК виновника по ОСАГО (в пределах страхового лимита по ОСАГО в 120 тыс. , если ущерб больше, то остальное непосредственно с виновника) . И Вам при дальнейшем страховании в этой же СК никаких повышений не будет - Вы невиновны, и есть с кого взыскать.
Ну и виновнику последующий полис ОСАГО обойдется дороже из-з повышающего коэффициента.
ПС: Ну а проблемы со сроками выплат могут быть по всех СК, независимо от того, ОСАГО это или КАСКО.