Без породных собак берут на аджилити, фризби, фристайл (На крупных выставках) и другие виды спорта?

Этими видами спорта можно заниматься с любой собакой. Не знаю как обстоят дела конкретно в Вашем регионе (нужно уточнить у кинолога, с которым вы будете заниматься) а международные соревнования по этим видам кинологической подготовки делятся на 3 вида:
1. Чемпионат мира FCI - для чистопородных собак;
2. IMCA - для беспородных и собак без родословных;
3. IFCS - для любых собак.

Их еще корейцы в рестораны берут.

Берут. Я сама ездию и часто там вижу беспородных собак. Вы со своей собакой фристайлом занимаетесь?

Берут просто заниматься. Но чтобы участвовать в сертификатных соревнованиях - обязательно нужна родословная. Поэтому дворняги в соревнованиях участвовать не могут.