сотрудника увольняем за прогулы.

Вот смеха то будет, когда работника на больничном уволите...

Ха-ха, Ольга, Вы кадровик? В курсе, что заочно уволите, потом платить замучаетесь? По закону (во всяком случае пару лет назад было), Вы или доверенное лицо, идёте к нему домой и долбите в двери. Потом подаете заявление участковому. Потом он передает дела пропажникам, которые через определенное время выдают справку о пропаже либо участковый, что он бухает или просто не работает и только тогда он считается уволенным по прогулам. Так же если он сам напишет заявление, что да, прогулял без уважительной причины. Либо он подпишет бумагу, что не прогуливал, а у вас на руках будет документ от проверяющего органа (выбирается из работников), что в 8 утра он не появлялся и есть подписи свидетелей.
В любом другом случае увольняйте по собственному от греха подальше. Не повторяйте чужих ошибок))))) Понимаете, просто он может и в больницу попасть и в могилу, поэтому в этом вопросе надо все только по закону делать

Пока сотрудник не явится к вам лично, вы не сможете его уволить. Ну если только родственники принесут свидетельство о смерти.
И никакая милиция не будет его разыскивать.
Пусть болтается в табеле НН хоть до морковкина заговения.

При заочном увольнении можете нарваться на больничный и т. п. , потом по судам запаритесь, да ещё и восстанавливать придётся. А лучше проконсультироваться в Трудовой инспекции в вашем районе. Я в свою обращался по разным вопросам, объясняли всё толково.

ждите сотрудника. с чего вы взяли, что причина его отсутствия именно прогул?

Если есть заявление работника на увольнение по собственному желанию, то и увольняйте его по этой статье. Зачем мудрить и увольнять за прогулы? Какой смысл? Просто не оплачивайте дни, когда он отсутствовал на работе, составив соответствующие акты.