Если поломка сигнализации мостового крана, можно ли производить пуск этого крана при производственной необходимости?

Нет.. . Причем - категорически НЕТ.. . Никакая производственная необходимость не позволяет нарушать ТБ, особенно, если это касается отсутствия сигнализации, да ещё на мостовом кране.. .
P.S. ТБ можно нарушить только при возникновении угрозы жизни и здоровью человека, а так же в случае предотвращения экологической катастрофы - надеюсь, у вас не тот случай...