Возраст собственника квартиры при налогообложении дохода от ее продажи не имеет значения. Тем более, не имеет значение возраст и статус его родителей. Никаких льгот несовершеннолетним закон не предусматривает. Куда будут потрачены вырученные от продажи деньги - тоже совершенно неважно; сама по себе покупка другой квартиры от налогообложения не освобождает.
Единственное, что имеет значение - то, что проданная квартира была в собственности менее 3-х лет (у Вас - год) , и то, что цена ее продажи больше цены покупки (у Вас куплена за 1 млн. , продана за 1,8 млн.) . Налог в размере 13 % с суммы, превышающей 1 млн. рублей, т. е. 104 тысячи, придется уплачивать. То, что собственник ребенок, в Вашем случае означает, что его налоговые обязанности - представить декларацию и уплатить налог - нужно будет осуществить от его имени Вам (поскольку Вы - его законный представитель).