в какой срок должны рассмотреть заявление об установлении отцовства и взыскании алиментов со дня подачи?

2 месяца со дня принятия иска и вынесения определения о его принятии, а не самой подачи.
Этот срок м. б. увеличен, если ответчик не признает иск и будет назначена экспертиза методом генетической дактилоскопии.
Затем месяц на вступление в законную силу, если не будет кем либо из сторон обжаловано в апелляционном порядке.